Ensembles finis Exemples

(\frac{\frac{m}{n}}{k}) = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n}

$(\frac{\frac{m}{n}}{k}) = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par

k

$k$ .

\frac{\frac{m}{n}}{k} k = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k

$\frac{\frac{m}{n}}{k} k = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de

k

$k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{\frac{m}{n}}{k} k = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k

$\frac{\frac{m}{n}}{k} k = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

\frac{m}{n} = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k

$\frac{m}{n} = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k$

\frac{m}{n} = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k

$\frac{m}{n} = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k$

\frac{m}{n} = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k

$\frac{m}{n} = (\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez

(\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k

$(\frac{\frac{m}{n}}{k - 1}) \cdot \frac{m - (k - 1) n}{k \cdot n} k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{m}{n} = \frac{\frac{m}{n}}{k - 1} \cdot \frac{m + (- k - - 1) n}{k \cdot n} k

$\frac{m}{n} = \frac{\frac{m}{n}}{k - 1} \cdot \frac{m + (- k - - 1) n}{k \cdot n} k$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{m}{n} = \frac{\frac{m}{n}}{k - 1} \cdot \frac{m + (- k + 1) n}{k \cdot n} k

$\frac{m}{n} = \frac{\frac{m}{n}}{k - 1} \cdot \frac{m + (- k + 1) n}{k \cdot n} k$

Étape 2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{m}{n} = \frac{\frac{m}{n}}{k - 1} \cdot \frac{m - k n + 1 n}{k \cdot n} k

$\frac{m}{n} = \frac{\frac{m}{n}}{k - 1} \cdot \frac{m - k n + 1 n}{k \cdot n} k$

Étape 2.2.1.1.4

Multipliez

n

$n$ par

1

$1$ .

\frac{m}{n} = \frac{\frac{m}{n}}{k - 1} \cdot \frac{m - k n + n}{k \cdot n} k

$\frac{m}{n} = \frac{\frac{m}{n}}{k - 1} \cdot \frac{m - k n + n}{k \cdot n} k$

\frac{m}{n} = \frac{\frac{m}{n}}{k - 1} \cdot \frac{m - k n + n}{k \cdot n} k

$\frac{m}{n} = \frac{\frac{m}{n}}{k - 1} \cdot \frac{m - k n + n}{k \cdot n} k$

Étape 2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

\frac{m}{n} = \frac{m}{n} \cdot \frac{1}{k - 1} \cdot \frac{m - k n + n}{k \cdot n} k

$\frac{m}{n} = \frac{m}{n} \cdot \frac{1}{k - 1} \cdot \frac{m - k n + n}{k \cdot n} k$

Étape 2.2.1.3

Multipliez

\frac{m}{n}

$\frac{m}{n}$ par

\frac{1}{k - 1}

$\frac{1}{k - 1}$ .

\frac{m}{n} = \frac{m}{n (k - 1)} \cdot \frac{m - k n + n}{k \cdot n} k

$\frac{m}{n} = \frac{m}{n (k - 1)} \cdot \frac{m - k n + n}{k \cdot n} k$

Étape 2.2.1.4

Multipliez

\frac{m}{n (k - 1)} \cdot \frac{m - k n + n}{k n}

$\frac{m}{n (k - 1)} \cdot \frac{m - k n + n}{k n}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.4.1

Multipliez

\frac{m}{n (k - 1)}

$\frac{m}{n (k - 1)}$ par

\frac{m - k n + n}{k n}

$\frac{m - k n + n}{k n}$ .

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1) (k n)} k

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1) (k n)} k$

Étape 2.2.1.4.2

Élevez

n

$n$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{1} n (k - 1) k} k

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{1} n (k - 1) k} k$

Étape 2.2.1.4.3

Élevez

n

$n$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{1} n^{1} (k - 1) k} k

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{1} n^{1} (k - 1) k} k$

Étape 2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{1 + 1} (k - 1) k} k

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{1 + 1} (k - 1) k} k$

Étape 2.2.1.4.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1) k} k

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1) k} k$

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1) k} k

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1) k} k$

Étape 2.2.1.5

Annulez le facteur commun de

k

$k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.5.1

Factorisez

k

$k$ à partir de

n^{2} (k - 1) k

$n^{2} (k - 1) k$ .

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{k (n^{2} (k - 1))} k

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{k (n^{2} (k - 1))} k$

Étape 2.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{k (n^{2} (k - 1))} k

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{k (n^{2} (k - 1))} k$

Étape 2.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)}

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)}$

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)}

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)}$

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)}

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)}$

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)}

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)}$

\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)}

$\frac{m}{n} = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)}$

Étape 3

Résolvez

m

$m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés par

n

$n$ .

\frac{m}{n} n = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)} n

$\frac{m}{n} n = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)} n$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de

n

$n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{m}{n} n = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)} n

$\frac{m}{n} n = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)} n$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

m = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)} n

$m = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)} n$

m = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)} n

$m = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)} n$

m = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)} n

$m = \frac{m (m - k n + n)}{n^{2} (k - 1)} n$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de

n

$n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Factorisez

n

$n$ à partir de

n^{2} (k - 1)

$n^{2} (k - 1)$ .

m = \frac{m (m - k n + n)}{n (n (k - 1))} n

$m = \frac{m (m - k n + n)}{n (n (k - 1))} n$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

m = \frac{m (m - k n + n)}{n (n (k - 1))} n

$m = \frac{m (m - k n + n)}{n (n (k - 1))} n$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

m = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)}

$m = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)}$

m = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)}

$m = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)}$

m = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)}

$m = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)}$

m = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)}

$m = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)}$

Étape 3.3

Résolvez

m

$m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez les deux côtés par

n (k - 1)

$n (k - 1)$ .

m (n (k - 1)) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$m (n (k - 1)) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

Étape 3.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Simplifiez

m (n (k - 1))

$m (n (k - 1))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

m (n k + n \cdot - 1) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$m (n k + n \cdot - 1) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

Étape 3.3.2.1.1.1.2

Déplacez

- 1

$- 1$ à gauche de

n

$n$ .

m (n k - 1 \cdot n) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$m (n k - 1 \cdot n) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

m (n k - 1 \cdot n) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$m (n k - 1 \cdot n) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

Étape 3.3.2.1.1.2

Réécrivez

- 1 n

$- 1 n$ comme

- n

$- n$ .

m (n k - n) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$m (n k - n) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

Étape 3.3.2.1.1.3

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

m (n k) + m (- n) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$m (n k) + m (- n) = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

Étape 3.3.2.1.1.3.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

m n k - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$m n k - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

Étape 3.3.2.1.1.3.2.2

Déplacez

n

$n$ .

m k n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$m k n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

Étape 3.3.2.1.1.3.2.3

Remettez dans l’ordre

m

$m$ et

k

$k$ .

k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez

\frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$\frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de

n (k - 1)

$n (k - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))

$k m n - m n = \frac{m (m - k n + n)}{n (k - 1)} (n (k - 1))$

Étape 3.3.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

k m n - m n = m (m - k n + n)

$k m n - m n = m (m - k n + n)$

k m n - m n = m (m - k n + n)

$k m n - m n = m (m - k n + n)$

Étape 3.3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

k m n - m n = m \cdot m + m (- k n) + m n

$k m n - m n = m \cdot m + m (- k n) + m n$

Étape 3.3.2.2.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.3.1

Multipliez

m

$m$ par

m

$m$ .

k m n - m n = m^{2} + m (- k n) + m n

$k m n - m n = m^{2} + m (- k n) + m n$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

k m n - m n = m^{2} - m k n + m n

$k m n - m n = m^{2} - m k n + m n$

k m n - m n = m^{2} - m k n + m n

$k m n - m n = m^{2} - m k n + m n$

Étape 3.3.2.2.1.4

Déplacez

m

$m$ .

k m n - m n = m^{2} - k m n + m n

$k m n - m n = m^{2} - k m n + m n$

Étape 3.3.2.2.1.5

Déplacez

m^{2}

$m^{2}$ .

k m n - m n = - k m n + m n + m^{2}

$k m n - m n = - k m n + m n + m^{2}$

k m n - m n = - k m n + m n + m^{2}

$k m n - m n = - k m n + m n + m^{2}$

k m n - m n = - k m n + m n + m^{2}

$k m n - m n = - k m n + m n + m^{2}$

k m n - m n = - k m n + m n + m^{2}

$k m n - m n = - k m n + m n + m^{2}$

Étape 3.3.3

Résolvez

m

$m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Comme

m

$m$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

- k m n + m n + m^{2} = k m n - m n

$- k m n + m n + m^{2} = k m n - m n$

Étape 3.3.3.2

Déplacez tous les termes contenant

m

$m$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Soustrayez

k m n

$k m n$ des deux côtés de l’équation.

- k m n + m n + m^{2} - k m n = - m n

$- k m n + m n + m^{2} - k m n = - m n$

Étape 3.3.3.2.2

Ajoutez

m n

$m n$ aux deux côtés de l’équation.

- k m n + m n + m^{2} - k m n + m n = 0

$- k m n + m n + m^{2} - k m n + m n = 0$

Étape 3.3.3.2.3

Soustrayez

k m n

$k m n$ de

- k m n

$- k m n$ .

m n + m^{2} - 2 k m n + m n = 0

$m n + m^{2} - 2 k m n + m n = 0$

Étape 3.3.3.2.4

Additionnez

m n

$m n$ et

m n

$m n$ .

m^{2} - 2 k m n + 2 m n = 0

$m^{2} - 2 k m n + 2 m n = 0$

m^{2} - 2 k m n + 2 m n = 0

$m^{2} - 2 k m n + 2 m n = 0$

Étape 3.3.3.3

Factorisez

m

$m$ à partir de

m^{2} - 2 k m n + 2 m n

$m^{2} - 2 k m n + 2 m n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.3.1

Factorisez

m

$m$ à partir de

m^{2}

$m^{2}$ .

m \cdot m - 2 k m n + 2 m n = 0

$m \cdot m - 2 k m n + 2 m n = 0$

Étape 3.3.3.3.2

Factorisez

m

$m$ à partir de

- 2 k m n

$- 2 k m n$ .

m \cdot m + m (- 2 k n) + 2 m n = 0

$m \cdot m + m (- 2 k n) + 2 m n = 0$

Étape 3.3.3.3.3

Factorisez

m

$m$ à partir de

2 m n

$2 m n$ .

m \cdot m + m (- 2 k n) + m (2 n) = 0

$m \cdot m + m (- 2 k n) + m (2 n) = 0$

Étape 3.3.3.3.4

Factorisez

m

$m$ à partir de

m \cdot m + m (- 2 k n)

$m \cdot m + m (- 2 k n)$ .

m (m - 2 k n) + m (2 n) = 0

$m (m - 2 k n) + m (2 n) = 0$

Étape 3.3.3.3.5

Factorisez

m

$m$ à partir de

m (m - 2 k n) + m (2 n)

$m (m - 2 k n) + m (2 n)$ .

m (m - 2 k n + 2 n) = 0

$m (m - 2 k n + 2 n) = 0$

m (m - 2 k n + 2 n) = 0

$m (m - 2 k n + 2 n) = 0$

Étape 3.3.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

m = 0

$m = 0$

m - 2 k n + 2 n = 0

$m - 2 k n + 2 n = 0$

Étape 3.3.3.5

Définissez

m

$m$ égal à

0

$0$ .

m = 0

$m = 0$

Étape 3.3.3.6

Définissez

m - 2 k n + 2 n

$m - 2 k n + 2 n$ égal à

0

$0$ et résolvez

m

$m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.6.1

Définissez

m - 2 k n + 2 n

$m - 2 k n + 2 n$ égal à

0

$0$ .

m - 2 k n + 2 n = 0

$m - 2 k n + 2 n = 0$

Étape 3.3.3.6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas

m

$m$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.6.2.1

Ajoutez

2 k n

$2 k n$ aux deux côtés de l’équation.

m + 2 n = 2 k n

$m + 2 n = 2 k n$

Étape 3.3.3.6.2.2

Soustrayez

2 n

$2 n$ des deux côtés de l’équation.

m = 2 k n - 2 n

$m = 2 k n - 2 n$

m = 2 k n - 2 n

$m = 2 k n - 2 n$

m = 2 k n - 2 n

$m = 2 k n - 2 n$

Étape 3.3.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

m (m - 2 k n + 2 n) = 0

$m (m - 2 k n + 2 n) = 0$ vraie.

m = 0

$m = 0$

m = 2 k n - 2 n

$m = 2 k n - 2 n$

m = 0

$m = 0$

m = 2 k n - 2 n

$m = 2 k n - 2 n$

m = 0

$m = 0$

m = 2 k n - 2 n

$m = 2 k n - 2 n$

m = 0

$m = 0$

m = 2 k n - 2 n

$m = 2 k n - 2 n$